Пористые порошковые материалы: история создания, современное состояние и перспективы разработки

     Глава 11
    
      ПОРИСТЫЕ ПОРОШКОВЫЕ МАТЕРИАЛЫ: ИСТОРИЯ СОЗДАНИЯ,
СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ПЕРСПЕКТИВНЫЕ РАЗРАБОТКИ
      
      П.А. ВИТЯЗЬ, В.М. КАПЦЕВИЧ, Р.А. КУСИН,
Л.П. ПИЛИНЕВИЧ, А.Л. РАК, О.Л. СМОРЫГО, В.К. ШЕЛЕГ
      

1. ИСТОРИЯ СОЗДАНИЯ
    
       Пористые порошковые материалы (ППМ) занимают особое место в природе, в том числе и среди номенклатуры изделий, получаемых методами порошковой металлургии. Главной особенностью данных материалов, является наличие взаимосвязанной системы пор, которая обеспечивает  проницаемость для жидкостей и газов.
       В зависимости от свойств исходных порошков и параметров технологии изготовления ППМ обладают широким диапазоном эксплуатационных характеристик, что обеспечивает их широкое внедрение в различных отраслях промышленности.
       Развитие и становление работ в области создания пористых порошковых материалов в Беларуси были начаты в начале 70-х годов ХХ века. Под руководством П.А. Витязя была сформирована группа исследователей и создана материально-техническая база для проведения научных исследований и получения пористых порошковых материалов различного назначения. Первые работы по получению пористых порошковых материалов, основанные на применении метода гидродинамического прессования, были выполнены совместно с родоначальником и основателем порошковой металлургии в Беларуси О.В. Романом. В результате проведенных работ были получены пористые изделия сложной формы с высокими эксплуатационными характеристиками. В 1973 г. был выполнен первый хозяйственный договор на разработку и поставку 20 фильтров из порошка бронзы для очистки масла в системе гидропривода шлифовального станка по заказу Конструкторского бюро точного электронного машиностроения (КБТЭМ, г. Минск). [1]. За короткий срок группой исследователей (П.А. Витязь, В.К. Шелег, М.А. Литвинец, В.М. Капцевич, С.В. Попко, Т.А. Смирнова, С.М. Азаров, В.Е. Романнков и др.) были проведены теоретические и экспериментальные исследования, которые позволили разработать новые технологические процессы получения пористых материалов и изделий различного назначения. В 1977 г. была создана лаборатория пористых материалов НИИ ПМ, руководителем которой был назначен   В.К. Шелег. С первых дней  существования лаборатории, усилия ее сотрудников были направлены на  работы по развитию порошковой металлургии и в частности разработке и созданию высокоэффективных пористых порошковых материалов и изделий из них в Республике Беларусь.
       В 1978 г. В.К. Шелег защитил первую в институте диссертацию по направлению пористых порошковых материалов, в этом же году сотрудникам лаборатории пористых материалов Т.А. Смирновой и В.К. Шелегу (в коллективе авторов) была присуждена премия ЛКСМ Беларуси. В 1980 г. за разработку и внедрение в народное хозяйство новых пористых материалов и изделий на основе металлических порошков О.В. Роману, П.А. Витязю, В.Г. Горобцову, Ю.В. Бойко, В.А. Генкину, В.И. Шелегову, В.К. Шелегу, В.М. Капцевичу, В.И. Когатько была присуждена Государственная премия БССР. В 1987 г. за разработку и внедрение в народное хозяйство проницаемых материалов с высокими эксплуатационными свойствами О.В. Роману, П.А. Витязю, В.М, Капцевичу, В.К. Шелегу, Р.А. Кусину и А.Л. Раку была присуждена премия Совета Министров СССР.
       Много сил, времени и труда отдали специалисты лаборатории  освоению производства пористых порошковых материалов и изделий на их основе на МолЗПМ, обучению специалистов завода, лично участвовали в выпуске первых промышленных партий фильтрующих элементов, глушителей шума, тепловых труб и др., наладке и запуске оборудования.
       В 1981 г. лаборатория пористых материалов выросла до отдела, а в 1993 г. - до отделения и включает сегодня 5 профильных лабораторий. С момента основания в 1977 г. до 1995 г. руководителем лаборатории, отдела и отделением был д.т.н., профессор, В.К. Шелег, а его заместителем по науке и главным генератором научных идей в области создания высокоэффективных ППМ д.т.н., профессор, В.М. Капцевич. С 1995г. по 2001 отделением руководил к.т.н. А.Л. Рак, а с 2001 г. по настоящее время руководителем отделения является д.т.н. Л.П. Пилиневич.
       Результатом многолетних теоретических и экспериментальных работ, выполненных коллективом сотрудников отделения пористых материалов, стало создание научной школы под руководством Витязя П.А., Шелега В.К., Капцевича В.М., которой принадлежат целый ряд научных и практических разработок, в том числе:
        - глобулярная модель пористого тела, позволяющая установить взаимосвязь между параметрами модели (расстояние между центрами частиц, углы их укладки, размеры контактной шейки) и основными характеристиками (пористость, размеры пор, удельная поверхность, коэффициент проницаемости, механическая прочность, электропроводность, тонкость фильтрования, грязеемкость, ресурс) ППМ и теоретически обосновать возможность получения пористых порошковых материалов с повышенным комплексом  эксплуатационных свойств путем создания оптимальной поровой структуры [2];
       - теоретические и технологические основы управления характеристиками  пористой структуры позволяющие создавать эффективные капиллярно - пористые порошковые материалы и изделия на их основе [3];
       - теоретические и практические основы создания высокоэффективных ППМ методами пластической деформации пористой заготовки, осаждения мелкодисперсных частиц в поровые каналы пористой заготовки из газопылевого потока, окисления поверхности порового пространства, электроимпульсного  спекания, вибрационного формования, формования  с помощью электромагнитного и центробежного полей, формования в псевдоожиженном слое, катодного осаждения, спекания в окислительно-восстановительной среде и др. [2];
       - теория процесса фильтрации с постепенной забивкой пор частицами загрязнителя, учитывающая распределение частиц загрязнителя по размерам и неравномерность их осаждения в объеме ППМ, которая позволила установить взаимосвязь эксплуатационных характеристик (ресурс работы фильтра, его производительность, тонкость очистки, грязеемкость), структурных параметров (распределение пористости и размеров пор по толщине ППМ), характеристик загрязнителя (гранулометрический состав, концентрация), а также основных режимов процесса фильтрации (вязкость и  скорость фильтруемого потока, перепад давления на фильтре) [4];
       - теория электроимпульсного спекания металлических порошков, устанавливающая взаимосвязь между характеристиками процесса контактообразования и значениями разрядных тока, напряжения и активного сопротивления порошкового образца [5];
       - методики и программное обеспечение расчета оптимальных поровых структур ППМ для очистки конкретных фильтруемых сред с учетом условий процесса фильтрации;
       - методы контроля и исследования свойств пористых порошковых материалов и свойств исходных порошков, таких, как коэффициенты внешнего и межчастичного трения, краевой угол смачивания, распределение пористости по сечению, локальная проницаемость, абсолютная тонкость очистки, грязеемкость, ресурс работы, капиллярное давление, капиллярная проницаемость и влагоотдача и др. [4];
       - теоретическое описание процессов тепло- и массопереноса и капиллярных явлений в ППМ и многое другое.
       Сегодня отделение пористых материалов состоит из 5 научно-исследовательских хозрасчетных лабораторий. Необходимо отметить, что, несмотря на «перестройку» и уход ведущих руководителей с 2000 г. по настоящее время сотрудниками отделения было защищено 5 кандидатских и 4 докторских диссертации. Это свидетельствует о том, что научный потенциал отделения не был утрачен.
  
2. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ И РАЗРАБОТКИ ПО ПОРИСТЫМ
ПОРОШКОВЫМ МАТЕРИАЛАМ
      
2.1. Свойства пористых проницаемых материалов и методы их определения
      
       Создание и разработка пористых проницаемых материалов (ППМ) невозможны без изучения их свойств, выявления взаимосвязи и взаимного влияния последних. Такую взаимосвязь свойств призвана установить их классификация.
       В основу разработанной классификации легли три основных положения: весь комплекс свойств ППМ разделен на две большие группы, объединяющие структурные и каркасные свойства; в каждой из групп выделены первичные (собственно структурные и каркасные) и вторичные свойства, которые целиком и полностью определяются и зависят от первичных свойств своей группы; объединяющим, связующим эти две большие группы противоположных свойств звеном является структурообразующий элемент (например, порошок или волокно) и его свойства.
       Общий вид разработанной классификации свойств представлен на рис. 1.1. Как видим, структурообразующий элемент, его вид, химический состав, размеры, форма, удельная поверхность является той основой, на которой базируется весь комплекс специфических свойств ППМ: как структурных, так и каркасных.


Рис. 1. Классификация свойств ППМ

      
Структурные и каркасные свойства выступают первичными, определяющими по отношению к соответствующим двум группам других свойств. Эти группы названы: свойства, определяемые структурными, и свойства, определяемые каркасными свойствами (рис. 1). Например, коэффициент проницаемости, тонкость очистки, капиллярный потенциал определяются пористостью, размерами пор и т.п., а не размерами и качеством контакта, т.е. эти свойства определяются структурными свойствами.
       Предложенная классификация поможет исследователям в прогнозировании и создании ППМ с заданными свойствами. Дело в том, что как правило, задаются вторичные свойства: проницаемость, тонкость очистки, капиллярный потенциал и т.п., хотя выход на структурообразующий элемент и его свойства возможен только через установление прямых устойчивых определяющих взаимосвязей свойств ППМ между собой и со свойствами структурообразующего элемента. Поэтому необходимо четко уяснить в каждом конкретном случае, от каких первичных свойств зависит изменение тех или иных вторичных.
       Все свойства ППМ, согласно разработанной нами классификации, можно разбить на две группы: структурные и каркасные. Структурные свойства, в свою очередь, определяют свойства проницаемости, капиллярные и фильтрующие свойства, а каркасные – физико-механические и химические.
       Структурные свойства – свойства, характеризующие перераспределение (пористую структуру). К ним относят пористость и ее распределение, размеры пор, коэффициент регулярности пористой структуры, свободная поверхность пористого тела.
       Пористость – отношение объема пор к полному объему пористого тела. Для определения пористости разработан ряд методов: расчетный метод, основанный на определении плотности ППМ, методы пропитки, гидростатического взвешивания, металлографический метод и по проницаемости. Наибольшее распространение получил первый из них (ГОСТ 18898-73). Влияние величины пористости на точность каждого из методов было изучено на примере образцов, пористость которых изменялась в пределах 0,25 – 0,45 [6]. На рис. 2 показана зависимость относительного отклонения величины пористости, определенной ртутной порометрией 1, металлографическим методом 2, рассчитанной по проницаемости 3, от значений, полученных гидростатическим методом 4, который принят за базу сравнения.
      

      
Рис. 2. Зависимость относительного отклонения значений пористости,
определенной различными методами
      
       Исследования позволили количественно установить отклонения значений пористости, определенных наиболее распространенными методами, от действительных, а также влияние абсолютной величины пористости на подобные отклонения. Так, относительное отклонение значений пористости ртутной порометрии 1 возрастают с повышением пористости, что связано с увеличением числа и размеров крупных пор. Тем не менее, эти отклонения, по сравнению с полученными другими методами, минимальны. Метод проницаемости 3 и металлографический метод 2 дают наиболее удаленные от базовых значений отклонения, что связано с их большими погрешностями. Однако, сами отклонения с ростом пористости уменьшаются вследствие снижения доли закрытой и тупиковой пористости, уменьшения извилистости.
     Из литературы известна зависимость электропроводности от пористости материалов [7]. Известно, что глубина проникновения вихревых токов зависит от частоты переменного магнитного поля. Следовательно, изменяя его частоту, можно определить электропроводность слоев разной толщины, а на основании полученных значений рассчитать удельную электропроводность любого внутреннего слоя. Устройство и метод определения удельной электропроводности, основанный на применении вихревых токов, описаны в работе [7].
     Размеры пор. Максимальные размеры пор являются одной из важнейших характеристик ППМ, так как определяют максимальный размер частиц загрязнителя, которые могут пройти через материал. Средние размеры пор обычно используют для сравнения различных ППМ и проведения гидродинамических расчетов. Распределение пор по размерам дает представление о числе или объеме пор каждого размера, диапазоне изменения размеров пор в ППМ и является более полной характеристикой по сравнению с максимальными и средними размерами пор. Наиболее распространенным методом определения максимального и среднего размеров пор является метод вытеснения жидкости из пор газом (ГОСТ 26849-86). При применении этого метода для реальных ППМ, поры которых имеют сужения и расширения, фиксируются наиболее узкие участки этих пор.
     Для определения распределения пор по размерам наиболее широкое распространение получили три метода: ртутная порометрия, вытеснение жидкости из пор газом и металлографический. Каждый из названных имеет свои достоинства и недостатки. Нами проведено сравнение этих методов [8]. Результаты исследований представлены на рис. 3.
    

Рис. 3. Распределение пор по размерам для ППМ, спеченных из порошков с размером
частиц (–0, 16) – (+0, 1) (а); (–0,3 1 5) – (+0,02) (б) и (–0,63) – (+0,4) мм (в):
1 – метод ртутной порометрии; 2 – вытеснение смачивающей жидкости; 3 – металлографический метод
      
       Как видно, функции распределения пор по размерам, полученные разными методами, существенно различаются, что обусловлено специфическими особенностями каждого метода. Метод ртутной порометрии дает функцию распределения, наиболее смещенную в область мелких пор. Нижний предел измерений определяется максимальным достигаемым в используемом порозиметре давлением ртути 414 МПа и составляет 3 ? 10-3 мкм, поэтому данный метод имеет самую высокую чувствительность в области мелких пор. В то же время, верхний предел измерений составляет всего 150 мкм, поскольку в поры с большим диаметром ртуть заходит уже при начальном давлении в момент заполнения ячейки с образцом.
       Существенным фактором смещения функции распределения является чередование крупных и мелких пор на пути движения ртути. Если крупная пора расположена за более мелкой, то обе поры заполняются при давлении, соответствующем диаметру мелкой поры. Таким образом, объем обеих пор будет отнесен к меньшему диаметру. Для получения истинного перераспределения с учетом чередования крупных и мелких пор можно успешно использовать метод Ревербери [9].
       Метод вытеснения жидкости дает функцию, описывающую узкий интервал пор в области среднего размера. Такой вид функции распределения объясняется малой разрешающей способностью метода в области мелких пор. Поскольку газопроницаемость пор увеличивается примерно пропорционально квадрату диаметра [10], приращение расхода газа вследствие раскрытия незначительного объема мелких пор мало по сравнению с расходом через основной объем крупных и средних пор, раскрытых ранее. К тому же, указанное приращение расхода газа происходит на фоне приращения расхода газа через крупные и средние поры вследствие увеличения перепада давления. Практический предел измерения ограничен диаметром пор 300 мкм.
       Металлографический метод охватывает широкий диапазон измерения размеров пор, соответствующий разрешающей способности оптической системы. При использовании телевизионного микроскопа «Квантимет-720» основным недостатком является отсутствие четкого распределения пор, так как их границы не всегда попадают в плоскость шлифа в связи со случайным сечением при его изготовлении. Поэтому, две или более поры из-за отсутствия на шлифе видимой границы их раздела могут фиксироваться как одна крупная. Кроме того, метод дает распределение пор в одной плоскости образца, куда попадают и узкие, и широкие их сечения, в то время как по двум описанным выше методам фиксировались размеры пор по их самому узкому сечению. Следствием этих факторов является смещение функции распределения в область крупных пор.
       Коэффициент регулярности пористой структуры – одна из важнейших количественных и качественных характеристик структуры пористых материалов, впервые введенный А.Г. Косторновым [11].
       В области регулярной структуры материал характеризуется только одним равновесным максимальным размером пор, который является и минимально возможным. В области нерегулярной структуры каждый материал может иметь ряд таких характеристик, отличающихся по абсолютному значению. Коэффициент регулярности пористой структуры равен:
      
     ,                    (1)
    
где  – равновесный максимальный диаметр пор в ППМ при толщине образца больше критической; – текущее значение максимального диаметра пор.
       Максимальное значение коэффициента С равно единице и соответствует регулярной структуре материалов. В области нерегулярной структуры С < 1, и чем оно меньше, тем менее регулярной является пористая структура.
       Значения критических толщин (минимальная толщина, соответствующая регулярной структуре) ППМ определены нами в зависимости от пористости и размеров частиц порошка [12].
       Проницаемость – это свойство пористого материала пропускать через себя жидкость или газ под действием приложенного градиента давления. Для характеристики этой величины используют абсолютный коэффициент проницаемости К, имеющий размерность площади и определяемый из закона Дарси:
      
     ,                     (2)
где Q – объем жидкости или газа, прошедшего через ППМ за единицу времени; ? – коэффициент динамической вязкости фильтруемой среды; ?p – перепад давления на ППМ; h – толщина ППМ; S – площадь фильтрации.
       Однако закон Дарси справедлив лишь для ламинарного течения газа или жидкости.
       Для газа с учетом его сжимаемости
      
     ,                 (3)
    
где R – газовая постоянная; j = ?Q/S – средняя температура газа в порах; pвх  и pвых – соответственно давление на входе и выходе из ППМ где ? – динамическая вязкость жидкости; ? – плотность жидкости; K? и K? – соответственно вязкостный и инерционный коэффициенты проницаемости.
       Проведенные нами исследования [13] течения воздуха через пористую бронзу показали более сложную зависимость: процесс течения характеризуется не двумя, а тремя значениями коэффициента проницаемости. Пример такой более сложной зависимости (рис. 4): В = f(Q), где , (; – барометрическое давление;  – перепад давления на образце;  – приведенное давление;  – расход воздуха через образец? приведенный к нормальным условиям).

Рис. 4. Экспериментальные данные о течении газа через ППМ из порошка бронзы
      
       Зависимость В = f(Q) характеризуется тремя участками: линейным горизонтальным 1, который соответствует ламинарному режиму течения 0 < Q < Q1; линейным наклонным 2, который отвечает переходному режиму (Q1 ? Q ? Q2); линейным наклонным 3, соответствующим турбулентному режиму Q ? Q2. Использование модельных представлений [10] позволило теоретически описать эти зависимости.
       Важной характеристикой ППМ является равномерность распределения проницаемости, которая зависит в первую очередь от равномерности распределения пористости по площади ППМ. Для оценки закономерности распределения проницаемости используют такой параметр, как локальная проницаемость. Простейшим способом определения локальной проницаемости является вырезка контрольных образцов из отдельных участков ППМ, последующая их продувка  при одних и тех же перепадах давления, и расчет проницаемости этих образцов. Нами предложены новые методы измерения этой величины, основанные на использовании измерительной головки оригинальной конструкции [14] и термоанемометра, перемещающегося в момент измерений по нормали к используемой поверхности ППМ [15]. Результаты исследований обрабатывают с использованием метода математической статистики. На основании полученных данных строят гистограммы распределения локальной проницаемости по относительным частотам или плотностям распределения частот.
       Для описания капиллярных свойств ППМ используют понятия величины капиллярного потенциала и краевого угла смачивания. Капиллярный потенциал – потенциальная энергия поля капиллярных сил, отнесенная к единице массы жидкости. Эта величина определяется следующим выражением:
       ,                 (4)
      
где h – высота поднятия жидкости; g – ускорение свободного падения; ? –поверхностное натяжение жидкости; ?ж – плотность жидкости; 1/rм –средняя кривизна менисков. Краевой угол – мера смачивания жидкостью твердых тел. Традиционные методы определения краевого угла – наклонной плиты, лежащей капли, малой капли на нити и т.п. – разработаны и применимы лишь для компактных материалов с однородной гладкой поверхностью. Для определения этих величин нами разработаны новые оригинальные методы и устройства. Для измерения капиллярного потенциала они изложены в [15, 16], а краевого угла смачивания – в [17, 18].
       Процесс очистки жидкости от загрязнений при ее прохождении через ППМ характеризуется качественно тонкостью фильтрования. В общем случае тонкость фильтрования определяется такими показателями, как абсолютная и номинальная топкость фильтрования, а также коэффициентами отфильтрования и полнотой фильтрования. Эти величины измеряются известными методами [19].
       При определении свойств ППМ, определяемых такими каркасными свойствами как плотность, величина и качество контакта, используют в большинстве случаев методы, применяемые для исследования беспористых материалов.
       Свойства ППМ из порошков, полученных различными методами, нами обобщены и приведены в [19 – 21].
      
3. МОДЕЛИРОВАНИЕ СТРУКТУРЫ И СВОЙСТВ ПОРИСТЫХ
ПРОНИЦАЕМЫХ МАТЕРИАЛОВ

3.1. Выбор модели структуры пористых проницаемых материалов

       Анализ рассмотренных моделей структуры ППМ показал, что моделью, наиболее полно описывающей особенности строения металлического каркаса материала с учетом размеров и количества межчастичных контактов и при этом позволяющей определять фильтрующие свойства, является элементарная ячейка, выделенная из некоторой регулярной упаковки частиц порошка. Очевидно, что такая модель наиболее пригодна для расчета физико-механических свойств, а также описания закономерностей пластического деформирования ППМ. В то же время для определения гидродинамических и важнейших эксплуатационных характеристик материала: тонкости фильтрования, грязеемкости, ресурса работы – целесообразно заменить поровое пространство данной элементарной ячейки сеткой капилляров переменного сечения, что позволит, избегая сложных математических вычислений, исследовать закономерности фильтрации и очистки от механических загрязнителей жидкости или газа в поровом пространстве ППМ.
        Согласно известной модели [22] свойства каждого элемента объема ППМ задаются параметрами элементарной ячейки в виде параллелепипеда, выделенного из восьми частиц порошка, образующих регулярную укладку. Так как предметом исследований в настоящей работе являются спеченные порошковые материалы, данную модель необходимо дополнить введением межчастичных контактов, сформированных в процессе прессования или спекания. В этом случае элементарная ячейка, которая схематично представлена на рис. 5, моделирует структуру металлического каркаса ППМ и характеризуется следующими параметрами: размерами ребер аi, углами укладки частиц в гранях , размерами межчастичных контактов хi. Данные параметры соответствуют следующим характеристикам структуры ППМ: расстояниям между центрами частиц порошка, углам их укладки, размерам металлического контакта между частицами.
      
    

Рис. 5. Модель элементарной ячейки ППМ
      
       Достоинством описанной модели является также возможность учета анизотропии структуры и свойств ППМ. Это достигается выбором различных значений длин ребер аi  и углов в гранях ячейки , при определенной ориентации всей ячейки относительно заданной внешней системы координат, которая может быть связана с осями симметрии пористого образца. Количественно ориентация ячейки задается обобщенными коэффициентами Ламэ:
      
       hi?=(),                        (5)

где i, и ? – соответственно базисные векторы неортогональной системы координат, связанной с элементарной ячейкой (рис. 5) и внешней системой координат. Индекс i принимает значения 1, 2, 3, а индекс ? – х, у, z. Исходя из данной модели структуры ППМ, выведены соотношения, связывающие ее параметры с основными свойствами: структурными, физико-механическими, гидродинамическими и фильтрующими.
      
3.2. Описание структурных свойств
      
       К структурным свойствам ППМ согласно [23] относят пористость, удельную поверхность, размер пор, коэффициент регулярности.
       Пористость П определяется отношением объема пор в элементарной ячейке Vп  к ее полному объему V0. Так как элементарная ячейка содержит объем металла, равный объему одной частицы порошка Vч, то выражение для определения пористости имеет следующий вид:
      
                             (6)
        
       Объем частицы  в общем случае выражается через ее средний диаметр D:
        
Vч= ,

где  ?v – объемный фактор формы, который для сферических частиц равен 1.
       Используя геометрические вычисления, объем ячейки Vо можно выразить через параметры модели следующим образом:
      
V0 = .

       Тогда для определения пористости подставим полученное выражение для объемов Vч и V0 в уравнения (6):
      
П = .      (7)

       Удельная поверхность Sv равна отношению площади поверхности частиц, входящих в элементарную ячейку Sп к её объему. Величина  Sп равна площади поверхности частиц порошка без учёта площадей межчастичных контактов Sктi:
           .
       Для круговых контактов Sктi  = ?xi2 .
       Выразим Sч через D:
      
Sч =D2,

где s – поверхностный фактор формы, который для гладких сферических частиц равен 1, а s . С учетом последних выражений уравнение для удельной поверхности можно записать в следующем виде:
       Sv = .                (8)
       Подставляя значение объема элементарной ячейки V0 в (8) и учитывая (7), получаем окончательное выражение для удельной поверхности ППМ:
      
       Sv = .                     (9)
      
       Размеры пор, соответствующие элементарной ячейке, определяются максимальными диаметрами окружности, вписанными в сечения пор гранями элементарной ячейки (рис. 6):
      
                           (10)
где  – эффективный диаметр частицы порошка в ее сечении плоскостью, параллельной i-ой грани элементарной ячейки к содержащей оси координат j и k, причем индексы удовлетворяют условию i ? j ? k.
       Значения размеров пор, определенные из соотношения (10), могут быть сопоставлены с размерами пор, определенных методом ртутной порометрии [9], так как заполнение элементарной ячейки ртутью осуществляется именно через минимальное сечение поры. В то же время максимальные и средние размеры пор, определяемые путем вытеснения смачивающей жидкости, зависят не только от параметров отдельной ячейки, но и от особенностей структуры всего пористого образца, обусловленных отклонением структуры реального порошкового ППМ от регулярной укладки частиц порошка.

Рис. 6. Схема определения размера пор в элементарной ячейке

       Характеристикой ППМ, позволяющей количественно оценить отклонения структуры материала от регулярной и установить взаимосвязь размеров пор элементарной ячейки с размерами пор ППМ, получаемыми вытеснением смачивающей жидкости, является параметр регулярности.
       Причиной отклонения структуры ППМ от регулярной является возникновение дополнительных пустот в объеме материала, которое вызывается следующими факторами:
       – влиянием стенок формы для спекания или пресс-формы;
       – полидисперсностью частиц порошка;
       – отличием формы частиц  от сферической;
       – арочными эффектами при формовании заготовок;
       – использованием порообразователя.
       В рамках описанной модели нерегулярность структуры можно учесть введением дополнительных полостей, прилегающих к элементарной ячейке по каждому из направлений, задаваемых ее гранями. Вследствие того, что указанные выше причины образования полостей для каждого элемента носят случайный характер, то и размер пустот, прилегающих к определенной элементарной ячейке, являются случайными числами, подчиняющимися нормальному закону распределения:
       ,                (11)
      
где  – размеры полостей в направлениях осей системы координат, связанной с элементарной ячейкой;  – дисперсия распределения величин , которая и определяет регулярность структуры пористого материала.
       Параметры регулярности , показывают, насколько укладка частиц порошка в исследуемом ППМ отличается от регулярной, для которой выполняется условие:  = 0.
       Будем считать, что причиной образования полостей является нарушение регулярности укладки частиц путем смещения одной из них относительно слоя порошка, в котором эта частица должна находиться (рис. 7 а). Такое смещение можно смоделировать деформацией элементарной ячейки путем сдвига 1/4 части одной из граней в направлении соответствующей оси неортогональной системы координат. Очевидно, что в этом случае вблизи ячейки образуется дополнительная полость,  обозначенная штриховыми линиями на рис. 7 б.
      

                   а            б
Рис. 7. Схема смещения частиц порошка (а) и соответствующей деформации
элементарной ячейки (б)
      
       При регулярной укладке частиц и соответствующей регулярной структуре размеры пор, определенные методом вытеснения смачивающей жидкости, удовлетворяют следующему соотношению:
(dп cp)i = (dп max)i = dпi,                      (12)
      
где  dпi – размер поры элементарной ячейки, определяемой из (10).
       Выполнение равенства (12) связано с тем, что при регулярной укладке не существует иного пути вытеснения жидкости, кроме проходящего через минимальное сечение поры элементарной ячейки. При взаимном смещении ячеек в направлении оси i появляется возможность вытеснения, минуя минимальное сечение поры. Это обусловлено изменением площади сечения порового канала по длине элементарной ячейки. Аналитически данная зависимость для сферических или близких к сферическим частицам порошка описывается следующим уравнением:
      
,            (13)
      
где z – координата вдоль оси, проходящей через центр ячейки.
       Как видно из рис. 8 а, при взаимном смещении ячеек на , минимальный размер пор, через который осуществляется вытеснение жидкости из слоя частиц, определяется наименьшим из следующих двух размеров пор di'и di'':
      
,      (14)
      


а
б
        
Рис. 8. Изменение размера порового канала по длине исходной ячейки – 1, деформированной части ячейки – 2
и путь вытеснения жидкости – 3 (а) и зависимость минимального сечения порового канала на пути вытеснения от величины смещения частицы (б)
        
       На рис. 8 б представлена полученная из уравнения (14) зависимость минимального размера порового канала di, от величины смещения ячеек . Так как смещение ячеек связано с наличием окружающих их полостей, размеры которых распределены по нормальному закону (11), то будем считать, что и сами величины смещений  также являются случайными величинами, распределенными по нормальному закону:
      
.

       В этом случае вероятность того, что при вытеснении жидкости из слоя порошка в окрестности определенной элементарной ячейки будет получен размер пор dп ? определяется из следующего соотношения:
      
            (15)
      
       Значения пределов интегрирования рассчитываются из уравнений (14) и рис. 8 б.
       Введение множителя «4» в (15) обусловлено тем, что смещение одной частицы порошка из слоя вызывает деформацию, аналогично приведенной на рис. 7, четырех элементарных ячеек.
       Если исследуемый образец содержит N слоев порошка в направлении вытеснения жидкости, то вероятность того, что вытеснение будет осуществляться по пути, минимальный размер порового канала которого превосходит , в соответствии с (15) равен:
      
(16)
      
где введены обозначения:


h – толщина пористого образца в направлении вытеснения жидкости.
       Предположим, что в одном слое порошка содержится М комплексов из четырех элементарных ячеек, рассмотренных выше. Тогда получаем уравнение для расчета максимальных размеров пор ППМ. В зависимости от средних dпi , числа слоев порошка в направлении вытеснения N, площади поверхности образца S и параметра регулярности i:
      
       (17)
      
      
      
       Средние размеры пор, полученные методом вытеснения, соответствуют раскрытию пор по всей площади образца и, следовательно, в этом случае путь вытеснения должен пройти и через минимальное сечение порового канала элементарной ячейки, т.е.
      
d(п cp) = dпi .
      
       Из уравнения (17) может быть определен и используемый для описания структуры ППМ коэффициент регулярности пористой структуры [11, 24 – 26].
      
.                    (18)

       Сравнение теоретических и экспериментальных данных [12, 27], приведенное на рис. 9 и 10, показало удовлетворительное соответствие: среднеквадратичное относительное отклонение составило 12 %.
      
      




Рис. 9. Зависимость максимальных размеров пор от толщины образцов порошка
бронзы различных
фракций, мкм: 1 – (–100 +63); 2 –
2 – (–200 +160); 3 – (–400 +315)


Рис. 10. Зависимость максимальных
размеров пор от толщины образцов
из порошка коррозионной стали
фракции (–0,315 +0,2) мм различной
пористости: 1 – П = 0,3; 2 – 0,4; 3 – 0,5

3.3. Физико-механические свойства
      
       Основными физико-механическими свойствами, влияющими на процесс эксплуатации ППМ, являются показатели механической прочности: временное сопротивление растяжению, относительное удлинение после разрыва, предел текучести, а также электропроводность.
      
3.3.1. Определение механических свойств
      
       Для изготовления пористых проницаемых материалов (ППМ) обычно используют порошки пластичных металлов и сплавов: меди, бронзы, никеля и др. Вследствие этого разрушение таких материалов носит пластический характер, причем происходит оно за счет разрыва межчастичных контактов. Для прогнозирования механических свойств ППМ в рамках выбранной модели необходимо исследовать закономерности пластического деформирования элементарной ячейки и установить условия разрушения межчастичных контактов, содержащихся в ней. Закономерности пластического деформирования материалов определяются видом функции пластичности.
       При выводе условия пластичности ППМ на основе выбранной модели элементарной ячейки (рис. 5) воспользуемся положением, на котором основывается большинство контактно-дискретных теорий пластичности пористых материалов [28 – 39]: процесс пластического деформирования обусловлен переходом в пластическое состояние областей межчастичных контактов. Данное предположение получило и экспериментальное подтверждение в ряде исследований, так, например, в [40] показано, что на начальном этапе деформирования ППМ из сферического порошка, деформация практически полностью локализуется в области контактных шеек. К аналогичному выводу пришли и авторы [41] на основе анализа разрушения порошковых материалов.
       Согласно выбранной модели, переход ППМ в состояние пластического деформирования соответствует возникновению пластических деформаций в областях межчастичных контактов элементарной ячейки. Поэтому, при выводе условия пластичности необходимо исследовать напряженное состояние материала порошка в этих областях. Расчеты будем производить в неортогональной системе координат (1, 2, 3), связанной с элементарной ячейкой (рис. 5). Ориентация этой системы координат относительно главных осей тензора напряжений задается обобщенными коэффициентами Ламэ, определяемыми из (5).
       Коэффициенты hi? определяют все геометрические свойства неортогональной системы координат. Так, компоненты метрического тензора gij выражаются через них следующим образом:
      
.                    (19)
      
       Компоненты тензора напряжений в неортогональной системе координат ?ij выражаются через значения главных компонент и коэффициента Ламэ:
      
,                    (20)
где –  ,  gim – компоненты контрвариантного метрического тензора, удовлетворяющие соотношению:
       .
      
       Для вычисления компоненты локального тензора напряжений в областях межчастичных контактов воспользуемся уравнениями баланса сил в сечениях элементарной ячейки, проведенных через центры межчастичных контактов параллельно координатным плоскостям системы (1, 2, 3). На рис. 11 в качестве примера приведены соответствующие сечения для контакта, расположенного в направлении оси k = 1.
      



Рис. 11. Сечения элементарной ячейки плоскостями, проходящими через центр контакта, лежащего на оси 1
      
       Вектор силы, действующей на плоскость сечения межчастичного контакта, лежащего в направлении оси k, проведенного параллельно j-ой координатной плоскости неортогональной системы координат, можно выразить через локальные значения компонент тензора напряжений в данном контакте :
,                     (21)

где Skj – площадь материала порошка в рассматриваемом сечении; nl – компоненты вектора нормали к плоскости сечения для координатной плоскости:

.
    
     Компоненты тензора напряжений  в прессуемом материале определяются усредненными по представительному объему локальными напряжениями :
    
,                     (22)
      
где S0 и V0 – соответственно величины объема и поверхности представительного элемента объема; хi – координаты точек поверхности S0.
     В рамках используемой модели прессуемый материал представляется в виде регулярной упаковки частиц порошка, представительным элементом объема которого является элементарная ячейка. В этом случае при интегрировании уравнения (22) получим:
    
,                     (23)
где Sj – площадь сечения элементарной ячейки j-ой координатной плоскости системы координат (1, 2, 3).
     Условие перехода материала порошка в областях межчастичных контактов в состояние пластического деформирования определяем на основе критерия пластичности Мизеса и получаем условие пластичности ППМ:
    
.         (24)
      
     Выразим полученное условие пластичности через компоненты тензора напряжений в главных осях:
       ,                     (25)
      
где  – коэффициенты, зависящие от параметра модели.
       Значения параметров  можно определить следующим образом:
      
       ,                (26)
      
где .
       Подставляя значения  из (11.26), находим:
      
.
      
       Условие пластичности (24) в общем случае описывает закономерности перехода в состояние пластического деформирования при прессовании анизотропного пористого порошкового материала.
       При определении компонентов тензора приращений деформаций воспользуемся ассоциированным законом течения, полагая, что функция пластичности (24) является пластическим потенциалом. Такое допущение достаточно широко используется в теориях пластичности пористых металлов [42]. Размеры ребер элементарной ячейки после деформации составят:
      
,                 (27)
      
а коэффициенты Ламэ, равны
       .                 (28)
     В соответствии с определением коэффициентов  они связаны с углами в гранях элементарной ячейки:
    
,

где индексы (i, j, k) принимают значения (1, 2, 3), (2, 3, 1) и (3, 1, 2).
       Тогда с учетом (11.28) значения углов , после деформации определяются из следующих уравнений:
.             (29)
      
3.3.2. Расчет электропроводности ППМ
        
       Электропроводность ППМ обусловлена наличием металлических контактов. На основе предложенной модели структуры рассчитаем компоненты тензора электропроводности в общем случае анизотропного пористого материала. Вследствие того, что проводимость системы частиц порошка определяется прежде всего параметрами наиболее узких контактных участков, в описанной модели (рис. 5) выделим контактную область в виде цилиндрического проводника переменного сечения (рис. 12) .
      

а                б

Рис. 12. Модель контакта в элементарной ячейке (а) е его сечение (б)

       Будем считать, что контактный мостик представляет собой тело вращения, образовавшееся вращением некоторой плоской кривой вокруг оси, соединяющей центры контактирующих частиц порошка. Обозначим ось цилиндрического проводника  и поместим начало системы координат в центр контакта. Тогда в сечении i-го контакта плоскостью, содержащей ось , его поверхность описывается кривой , удовлетворяющей следующим условиям:
      
,        ,    ,   (30)
где  – длина межчастичного контакта (рис. 12, б).
       Конкретный вид кривой  может быть определен из следующих условий. Во-первых, объем контакта должен быть равен объему частицы порошка, который был израсходован на формирование контакта. Будем считать, что образование контактного мостика затрачивается объем шарового сегмента с радиусом основания , тогда этот объем определяется из следующего соотношения:
      
        (31)

       Объем контактного мостика на участке  равен:
    
  ,                         (32)
      
       Приравнивая правые части уравнений (31) и (32), получаем еще одно условие, налагаемое на кривую .
       Во-вторых, форма кривой  должна быть такова, чтобы энергия системы была минимальной при учете всех сил действующих в зоне контакта, а также при условии, что объем контактного мостика должен быть равен . Данное условие применением варьирования функционала, определяемое уравнением кривой, может быть сведено к дифференциальному уравнению, решением которого является функция , обеспечивающая минимизацию полной энергии межчастичного контакта. В качестве примера выведем уравнение, описывающее форму контактного мостика, образованного при спекании свободно насыпанного порошка. В этом случае на металл в зоне контакта действует только одна сила поверхностного натяжения, и вариационное уравнение для свободной энергии Esi имеет вид:
      
,  ,        (33)

где  – коэффициент поверхностного натяжения;  –  свободный параметр, имеющий размерность давления.
       Подставляя (33) в соответствующее уравнение Эйлера-Лагранжа, получаем дифференциальное уравнение определения поверхности межчастичного контакта:
      
            (34)

       Решение уравнения (34) позволяет определить соответствующую форму межчастичного контакта, а также характеристику его длины .
       Электрическое сопротивление контактного мостика рассчитываем, исходя из следующего выражения:
                         (35)

где   – удельное электросопротивление материала порошка.
       Сопротивление частицы порошка без контактной зоны  рассчитаем, используя аналогичные вычисления. Интегрируя, получаем уравнение для определения электрического сопротивления частицы порошка в направлении i-ой оси:
      
                                       (36)

где  – координата, при которой площадь сечения шара равна . После несложных преобразований из выражения (36) получаем следующее:

         (37)
      
       В соответствии с рассмотренной моделью металлический каркас ППМ состоит из множества частиц порошка, соединенные межчастичными контактами, которые вместе образуют трехмерную сетку. Для расчета электросопротивления такого материала воспользуемся методом, использованным в работе [45, 46] для определения проницаемости высокопористых материалов.
       Так как ППМ, подвергнутый какой-либо обработке, в частности, пластическому деформированию, обладает анизотропной структурой, то электрическое сопротивление слоя, выделенного перпендикулярно одной из главных осей , имеющего толщину  и площадь поперечного сечения , определяется из следующего соотношения:
      
      

где  – удельное сопротивление ППМ при пропускании электрического тока в направлении главной оси .
       Рассмотрим слой ППМ, выделенный перпендикулярно главной оси  (рис. 13).


Рис. 13. Сечение пористого материала, используемое для расчета электропроводности
и процесса фильтрации
      
       Падение напряжения на выделенном элементе может быть выражено через падение напряжения на участках отдельной частицы порошка:
    
                       (38)

где  и  – соответственно падения напряжения на контакте и частице порошка;
 – полное число i-ых элементарных проводников, состоящих из частиц порошка и прилегающих контактов;  – число проводящих линий, составленных из i-ых проводников, которые проходят через весь выделенный слой.
       Запишем закон Ома для контакта и частицы порошка:
    
                                                (39)
      
где  – сила тока, протекающего в выделенном  слое через i-ый элементарный проводник.
       Из (39) выразим силу тока  через :
      

а затем  через  :
                    (40)

       Учитывая, что полный ток, протекающий через выделенный слой, равен:
      

и, следовательно:
                       (41)
       Из закона Ома определяем величину электрического сопротивления выделенного слоя:
      
                (42)

       Удельное электросопротивление ППМ в этом случае равно:
      
                        (43)

где и    соответственно толщина и площадь выделенного слоя, которые определяются из следующих соотношений:

                                 (44)

      
      
       Подставляя (44) и (43) в (42), получаем выражение для величины удельного электросопротивления ППМ:
      
                (45)

       В этом случае удельная электропроводность ППМ равна:
      
            (46)

       Аналогичные выражения могут быть получены при расчете электропроводности в направлении других главных осей  и  анизотропного ППМ.
       В целях проверки соответствия теоретических данных эксперименту рассчитали значения удельной электропроводности ППМ, полученных из сферического порошка бронзы со средним размером частиц 130 мкм. Пористые порошки из порошков бронзы получают спеканием в состоянии свободной насыпки. Поэтому при расчетах воспользовались разработанной моделью. На рис. 14 представлены рассчитанные профили контактных мостиков в зависимости от их размеров в наиболее узком сечении. Из полученных данных видно, что по мере увеличения минимальной площади контакта его профиль становится более гладким и увеличивается длина контактной  области. Исходя из полученных профилей контактных мостиков, определены значения коэффициента электропроводности в зависимости от пористости. Сравнение теоретических данных с результатами эксперимента, приведенное на рис. 15, показало удовлетворительное соответствие, так среднеквадратичное относительное отклонение составило 12 %.
      



Рис. 14. Профили контактных мостиков
при различныъх значениях размера контакта
в наиболее узком сечении:
1 – x/D = 0,1;  2 – 0,15; 3 – 0,2; 4 – 0,3; 5 – 0,4

Рис. 15. Зависимость относительной электропроводности от пористости для ППМ из порошка бронзы с размером частиц (–160 +100) мкм
      
3.3.3. Расчет гидродинамических свойств

       Применение ППМ обусловлено их способностью пропускать через свое поровое пространство жидкость или газ под действием прикладываемого градиента давления. Основными гидродинамическими характеристиками ППМ являются коэффициенты проницаемости, определяемые при различных режимах фильтрации, и равномерность распределения проницаемости по площади фильтрации, которая характеризуется локальной проницаемостью.
       Описанная выше модель учитывает особенности строения ППМ и позволяет рассчитывать структурные, каркасные и физико-механические  свойства. В то же время, точное математическое описание процессов массопереноса в поровом пространстве выбранной элементарной ячейки, хотя и возможно, но связано со значительными вычислительными трудностями. В связи с этим, для описания процесса фильтрации целесообразно представить пору в ячейке в виде пересечения цилиндрических капилляров переменного сечения. Такая сеточная модель находит широкое применение для описания всех процессов переноса в пористых материалах и позволяет получать корректные результаты.
       Для расчета гидродинамических свойств ППМ пору элементарной ячейки для каждого из трех направлений, задаваемых осями неортогональной системы координат, представим в виде капилляра переменного сечения. Каждый элементарный капилляр состоит из трех частей, две из которых соответствуют входному узкому участку поры, а третья – широкая, – внутренней части поры (рис. 16).
      
        Рис. 16. Схема модельного капилляра для расчета процесса фильтрации
      
       Диаметры узких участков равны размерам пор элементарной ячейки dni, а полная длина капилляра равна размеру ребра ячейки аi. Широкие части капилляров представим в виде круговых цилиндров диаметрами Di, и длинами li, величины которых определяются из условия равенства объема и поверхности модельного капилляра, соответствующим параметрам порового пространства элементарной ячейки:
      
        (47)

       На основе сделанных допущений в рамках модели структуры ППМ рассчитаны коэффициенты проницаемости при различных режимах фильтрации.
       Для расчета величины Кz аналогично, как и при определении удельного сопротивления, выделим в образце слой, перпендикулярный оси z (рис. 11.13). Рассмотрим течение жидкости или газа в направлении оси z. Выразим перепад давления и расход через параметры элементарных капилляров. Перепад давления на данном слое ?Рz:
      
,                    (48)

где ?Рiz, и  – соответственно перепады давления на зоне сужения и зоне расширения элементарного капилляра.
       Учитывая, что расход через любое сечение элементарного капилляра постоянен, и воспользовавшись законом течения Пуазейля, находим:
      
.                    (49)
      
       Величину расхода через i-ый капилляр можно получать, рассчитав течение в его широкой части:
.                        (50)

       Из выражений (49) и (50) вычислим значение расхода вдоль осей 1 и 2 по величине расхода вдоль оси 3 неортогональной системы координат, связанной с элементарной ячейкой, и находим:
.                (51)

       С другой стороны, из уравнений (49) и (50) имеем:
      
        .            (52)
       Тогда из уравнений (11.51), (11.52) находим величину коэффициента проницаемости в направлении главной оси z:
       .                (53)
      
       Толщину выделенного слоя Lz и его площадь Sz определяются из рис. 13:
      
       ,   ,                                                       (54)

где: .
       Подставляя (54) в (53) получаем уравнения для компоненты тензора проницаемости Кz:
      
        ,             (55)
      
       В результате аналогичных вычислений могут быть получены две другие главные компоненты тензора коэффициентов проницаемости:
      
        ,             (56)

(?, i, j, k) принимает значения (х, 1, 2, 3), (у, 2, 3, 1), (z, 3, 1, 2).
       Полученные значения коэффициентов проницаемости характеризуют течение вязкой жидкости или газа в ППМ при ламинарном режиме. Однако, из экспериментальных исследований известно, что при увеличении расхода режим течения изменяется: нарушается линейная связь между расходом и перепадом давления на образце [47]. Причем можно выделить три основных режима: ламинарный, переходный и турбулентный.
       Как показали исследования, проведенные нами в [10], выбранная модель порового пространства ППМ в виде капилляров переменного сечения позволяет описывать закономерности перехода от ламинарного к переходному и турбулентному режимам течения.
       Анализ результатов экспериментальных исследований по закономерностям фильтрации жидкостей и газов в ППМ подтвердил наличие трех основных режимов фильтрации: ламинарного, переходного и турбулентного, характеризуемых различными зависимостями перепада давления на образце от величины расхода через него (рис. 17).
       Как отмечалось выше, выбранная модель порового пространства ППМ позволяет выделить три режима течения в зависимости от вида течения жидкости или газа в различных частях модельного капилляра. Рассчитаны коэффициенты проницаемости на различных режимах фильтрации. Для образцов, спеченных из сферического порошка, определены критические числа Рейнольдса. Экспериментальные исследования проводились на стандартной установке путем определения зависимости перепада давления на образце диаметром 30 мм и толщиной 5 мм от величины расхода воздуха через него. Образцы приготавливались из распыленных порошков бронзы марки БрОФ-10-1 и коррозионностойкой стали ПРХ18Н10 различных фракций, полученных путем спекания в состоянии свободной насыпки.
       Величины критических чисел Рейнольдса определяли в точках пересечения прямых, задающих различные режимы фильтрации на зависимости ?Р = ?Р(Q). Предположим, что образцы, полученные путем спекания без нагрузки, являются изотропными. Сравнение теоретических и экспериментальных данных по коэффициентам проницаемости и критическим числам Рейнольдса приведено на рис. 18 – 21 для образцов, полученных из порошка с различными размерами частиц. Анализ представленных данных показывает, что их среднеквадратичные отклонения теоретических и экспериментальных данных не превышают 17 %. Важно также, что критические числа Рейнольдса при заданной форме частиц порошка практически не зависят от их размера, что позволяет достаточно просто и точно оценивать характер фильтрации в ППМ при заданном расходе или перепаде давления на образце.
       На основе разработанной модели ППМ с нерегулярной структурой опишем количественно влияние дополнительных полостей на величину коэффициента проницаемости и дисперсию его распределения по площади изделия. Схема расчета аналогична случаю определения коэффициента проницаемости в регулярных структурах.
      



Рис. 17. Зависимость перепада
давления от расхода газа через ППМ
из порошка бронзы

Рис. 18. Зависимость коэффициента проницаемости ППМ из порошка
бронзы от размера частиц при ламинарном режиме фильтрации




а

б
Рис. 19. Зависимости вязкостного – 1 и инвариантного – 2 коэффициентов проницаемости ППМ
из порошков бронзы от размеров от размеров частиц для переходного (а)
и турбулентного (б) режимов фильтрации



Рис. 20. Зависимость критических чисел
Рейнольдса при переходе от ламинарного режима к переходному – 1 и от переходному
к турбулентному – 2 от размеров частиц ППМ из порошков бронзы

Рис. 21. Зависимость критических чисел
Рейнольдса при переходе от ламинарного
режима к переходному – 1 и от переходному
к турбулентному – 2 от размеров частиц ППМ из порошков коррозионностойкой стали
      
       Отличие заключается в рассмотрении течения жидкости или газа не только в поре, находящейся внутри элементарной ячейки, но и в находящихся рядом с ячейкой полостях (рис. 22). В этом случае соотношение (51) для величины расхода через элементарный капилляр можно записать в виде:
      
,       (57)

где параметры Di, и li, относятся к элементарному капилляру ячейки; ?k –  случайная величина, определяющая размер прилегающей полости; Qiz и – соответственно расход и перепад давления на широкой части элементарного капилляра.
      


Рис. 22. Схема модельного капилляра для расчета коэффициента проницаемости ППМ
с нерегулярной структурой

       Подставляя значения параметра , выраженного через величину перепада давления на элементарном слое, выделенном из укладки ячеек, получим окончательное выражение для главной компоненты тензора коэффициентов проницаемости анизотропного ППМ с нерегулярной структурой:
.       (58)
      
       Аналогичные выражения можно получить и для двух других главных компонент тензора коэффициентов проницаемости  и . Как видно из (58), значение коэффициента проницаемости является случайной величиной, так как размеры полостей , (i = l, 2, 3) – случайные величины.
      
3.3.4. Описание фильтрующих свойств
      
       Важнейшими фильтрующими характеристиками ППМ являются тонкость фильтрования, грязеемкость, ресурс работы. Для их определения рассмотрим кинетику осаждения загрязнителя из суспензии в слое анизотропного ППМ, выделенном перпендикулярно главному направлению z (рис. 13). Составим уравнение баланса массы загрязнителя с объемной концентрацией C(z) для потока QZ. К выделенному элементу объема подходит объем загрязнителя
      
,

где  – промежуток времени.
       При этом в слое содержится загрязнителя:
      
       ,

где  – объемное содержание задержанных частиц.
       Однако, как отмечается в [49], при обычно используемых условиях фильтрования:
      
,
тогда
.
      
       После прохождения объема фильтруемой среды  содержание загрязнителя в данном слое становиться равным:
,

а количество загрязнителя, вышедшего из слоя, определяется из следующего выражения:

.

       Тогда, учитывая что толщина выделенного слоя , получаем следующее дифференциальное уравнение баланса масс:
,                     (59)
где – скорость осаждения, связанная с потоком фильтруемой среды .
       Полученное уравнение (59) содержит две неизвестные функции Сz и . Для их нахождения необходимо вывести еще одно уравнение, включающее вероятность осаждения . За промежуток времени ?t через выделенный слой проходит объем частиц загрязнителя V1, а объем задержанных частиц V5 можно представить в виде:
      
.
      
       Очевидно, что выполняется следующее соотношение:
      
.
      
       Тогда получаем следующее уравнение кинетики задержки частиц загрязнителя:
      
       .                    (60)
      
       Аналогичные уравнения могут быть получены при анализе процесса фильтрования в направлении других главных осей анизотропного ППМ: х, у. Очевидно, что полная скорость осаждения определяется совместным воздействием трех потоков в главных направлениях Qx , Qy , Qz:
      
.
      
       Суммируя уравнения (59) и (60) по главным направлениям x, y, z, получаем систему уравнений, позволяющую рассчитывать кинетику процесса фильтрования:
      
       ,         ,                           (61)

где  принимает значения x, y, z,  – производная по направлению .
       Анализ системы (61) показывает, что для математического описания процесса фильтрования суспензий в рамках выбранной модели необходимо установить взаимосвязь вероятности осаждения частиц загрязнителя с параметрами модели и рассчитать изменения этих параметров при осаждении загрязнителя в поровых каналах. Для определения  рассмотрим особенности осаждения частиц в модельном капилляре (рис. 16).
       Согласно анализу механизмов захвата частиц загрязнителя в ППМ и соответствующему изучению экспериментальных данных в работах [49, 50] сделан вывод о том, что определяющими механизмами осаждения при обычно используемых при фильтрации размерах частиц загрязнителя (5 –50 мкм) являются прямое столкновение и инерция.
       Вероятность прямого столкновения определяется долей частиц загрязнителя, попадающих в слой жидкости, отстоящей не более чем на   от стенки капилляра (d – диаметр частицы загрязнителя). Осаждение по механизму инерции обусловлено тем, что под действием центробежной силы инерции при движении вокруг частиц порошка частица загрязнителя приобретает составляющую скорости , перпендикулярную линии тока жидкости и газа.
       Получены выражения: полная вероятность столкновения частицы загрязнителя со стенкой модельного капилляра равна:
,         (62)
в широкой части:
(63)

       Величину средней скорости инерционного движения частицы загрязнителя оценим аналогично работе [49], приравнивая силу инерции, действующую на частицу при ее движении вокруг частицы порошка, силе сопротивления со стороны жидкости или газа:
      
.
      
       С учетом полученных соотношений определим вероятность осаждения частиц порошка загрязнителя в выделяемом слое ППМ, перпендикулярном главной оси :
      
,                    (64)

где Kз  – коэффициент захвата, величина которого, как показывает анализ литературных данных, определяет интенсивность осаждения и зависит от целого комплекса факторов (соотношение размеров и формы частиц порошка и загрязнителя, состояния их поверхностей, скорость фильтрации). Поэтому, теоретически определить его значение представляется весьма затруднительным, и в данной работе использовали экспериментальное значение Kз, определенное на основе сравнения расчетных и экспериментальных данных по тонкости фильтрации. Установлено, что значение коэффициента осаждения для исследуемых порошков практически не зависит от вида загрязнителя и размеров частиц порошка и может быть принято равным Kз = 0,15 – 0,17.
       Таким образом, система уравнений кинетики осаждения загрязнителя в объеме ППМ (61) – (64) позволяет описывать закономерности процесса фильтрации и определять такие важные эксплуатационные характеристики материала, как ресурс работы, грязеемкость, тонкость фильтрации.
       Величина номинальной тонкости фильтрации для фильтрующего элемента толщиной h равна минимальному размеру частицы загрязнителя, для которого выполняется условие:
      
.
       Грязеемкость G задается объемным содержанием загрязнителя в фильтре в момент времени, когда коэффициент проницаемости снизится в 2 раза по сравнению с исходным значением.
       Ресурс работы фильтрующего элемента численно равен определенному выше промежутку времени . В таблице 1 приведено сравнение значений гидродинамических и фильтрующих свойств, рассчитанных по выведенным уравнениям и полученных экспериментально.
      
Таблица 1. Гидродинамические и фильтрующие свойства ППМ из сферических порошков бронзы
      


D, мкм


П


dп, мкм
Коэффициент проницаемости
х 1013, м2
Тонкость фильтрации, мкм

Ресурс, с

Грязеемкость



теор.
эксп.
теор.
эксп.
теор.
эксп.
теор.
эксп.
(-100+63)
0,33
29
55
60
8
9
25
27
0,11
0,09
(-200+160)
0,34
60
125
129
19
18
33
35
0,14
0,12
(-315+200)
0,35
75
355
367
29
27
39
41
0,16
0,15
(-400+315)
0,36
112
672
660
43
41
49
53
0,18
0,17
(-630+400)
0,36
161
1093
1035
69
65
57
61
0,19
0,18

3.3.5. Построение общей схемы оптимизации свойств ППМ
      
       Разработанная  обобщенная модель пористого проницаемого тела, которая позволяет, с одной стороны, установить взаимосвязь между параметрами структуры материала и его основными свойствами (структурными, физико-механическими, гидродинамическими и фильтрующими). В то же время данная модель описывает закономерности  изменения комплекса  свойств пористых проницаемых материалов в процессе их изготовления. Это делает возможным применение разработанной модели для поиска оптимальной структуры ППМ, обеспечивающей требуемое сочетание эксплуатационных свойств и одновременного определения режимов процесса формования, позволяющих получить материал с установленнойоптимальной структурой. Построим общую схему оптимизации структуры и свойств ППМ при различных процессах формования. В соответствии с моделью каждое свойство материала, характеризуемое величиной ;  – число основных эксплуатационных свойств, зависит от значений параметров модели и их распределений в объеме пористого образца, т.е.
      
       .
      
       Сущность оптимизации заключается в поиске таких значений параметров модели  и , при которых обеспечиваются экстремальные значения свойств  при заданных значениях ряда других свойств , где .
       Рассмотрим оптимизацию свойств пористых порошковых элементов, используемых в качестве фильтров. Наибольшей эффективностью в этом случае обладают материалы, характеризуемые максимальными коэффициентом проницаемости , ресурсом  и грязеемкостью  при заданной тонкости фильтрования. Тогда задача оптимизации может быть сформулирована следующим образом: необходимо определить значения параметров модели  и , а также закон их распределения в объеме пористого элемента, которые бы обеспечивали максимальные значения функций:
      
;

;

;
при соблюдении следующего условия

,

где  – ось в направлении фильтрации;  – тонкость фильтрования.
       В качестве примера рассмотрим оптимизацию фильтрующих характеристик ППМ с переменным в направлении оси  порораспределением. Для упрощения расчета будем считать, что в каждой плоскости материал является изотропным, а свойства в каждой из плоскостей изменяются вследствие изменения размеров частиц порошка. В этом случае задачу оптимизации запишем таким образом: необходимо определить вид функции  и соответствующие значения параметров моделей  и , которые бы обеспечивали максимальные значения свойств ППМ:
      
;  ;  

при следующем условии

      
       Будем считать, что функция  имеет вид экспоненциальной зависимости , где– параметр, D – размер частиц порошка.
       Толщину образцов примем постоянной и равной , а значение выберем, исходя из условия, что размер частиц порошка обеспечивал тонкость фильтрации .
       По разработанной модели проведем расчеты изменения характеристик ППМ в зависимости от величины параметра для следующих численных значений приведенных постоянных d0 = 10 мкм, Dmin = 130 мкм, h = 5 мм. Расчеты будем производить для суспензии со средним размером частиц загрязнителя 10 мкм, концентрацией С  = 10-5, скоростью фильтрации ф = 0,1 м/с. На рис. 23 приведены распределения объемного содержания загрязнителя по толщине фильтрующего элемента в момент времени, когда коэффициент проницаемости уменьшится в 2 раза по сравнению с исходным значением. Из полученных данных видно, что увеличение ? обуславливает более равномерное осаждение частиц загрязнителя по толщине фильт